Question

15．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，CD⊥AC于C，AC交⊙O于E，CD=2CE．
（1）求证：AE=3CE；
（2）求$\frac{BC}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线，设CE=x，则CD=2x，证明△ECD∽△DCA，列比例式可得结论；
（2）证明四边形CEFD是矩形，则EF=CD=2x，CD∥BE，利用勾股定理分别表示BC和AD的长，相比即可．

解答 证明：（1）连接DE、OD、BE，交OD于F，
设CE=x，则CD=2x，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠CDE=∠CAD，
∵∠ACD=∠ACD，
∴△ECD∽△DCA，
∴$\frac{EC}{DC}=\frac{CD}{AC}$，
∴AC=$\frac{C{D}^{2}}{EC}$=$\frac{4{x}^{2}}{x}$=4x，
∴AC=4CE，
∴AE=3CE；
（2）∵CD与⊙O相切于点D，
∴CD⊥OD，
∴∠CDO=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠CEB=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠CEB=∠CDO=90°，
∴四边形CEFD是矩形，
∴EF=CD=2x，CD∥BE，
∴OD⊥BE，
∴BE=2EF=4x，
Rt△CEB中，BC²=CE²+BE²=x²+（4x）²=17x²，
BC=$\sqrt{17}$x，
Rt△ACD中，AD²=CD²+AC²=（2x）²+（4x）²=20x²，
AD=2$\sqrt{5}$x，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{\sqrt{17}x}{2\sqrt{5}x}$=$\frac{\sqrt{85}}{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质和判定、圆的切线的性质、垂径定理、勾股定理，第一问题证明△ECD∽△DCA是关键，第二问证明四边形CEFD是矩形是关键，设未知数表示线段的长，根据未知数的关系确定线段的关系．