Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=10，AD=6，BC=18，M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连结PM并延长交AD的延长线于Q．

（1）当P在B，C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形?请说明理由．

（2）当四边形ABPQ是直角梯形时，点P与C距离是多少?

Answer 1

解：（1）当CP=6时，四边形ABPQ是平行四边形

理由：因为AD∥BC

    所以∠C=∠CDQ，∠QPC=∠Q

    因为CM=DM 

    所以△CMP≌△DMQ

    所以PC=DQ=6

    而BP=BC-PC=18-6=12

    AQ=AD+DQ=6+6=12

    所以BP=AQ

    所以四边形ABPQ是平行四边形

（2）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F

    由于AB=CD，∠B=∠C，∠AEB=∠DFC=90º

    所以△ABE≌△DCF

    所以BE=FC

    由于AE∥DF，AD∥EF

    所以四边形AEFD是平行四边形

    所以AD=EF

    所以

    所以

    由（1）知：QM=MP 

    所以MP=4

    所以