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【题目】如图,已知直线l及其两侧两点A、B.

(1)在直线l上求一点O,使到A、B两点距离之和最短;
(2)在直线l上求一点P,使PA=PB;
(3)在直线l上求一点Q,使l平分∠AQB.

【答案】
(1)解:连接AB,线段AB交直线l于点O,

∵点A、O、B在一条直线上,
∴O点即为所求点;
(2)解:连接AB,分别以A、B两点为圆心,以任意长为半径作圆,两圆相交于C、D两点,连接CD与直线l相交于P点,连接BD、AD、BP、AP、BC、AC,

∵BD=AD=BC=AC,
∴△BCD≌△ACD,
∴∠BED=∠AED=90°,
∴CD是线段AB的垂直平分线,
∵P是CD上的点,
∴PA=PB;
(3)解:作B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l与点Q,连接BQ,

∵B与B′两点关于直线l对称,
∴BD=B′D,DQ=DQ,∠BDQ=∠B′DQ,
∴△BDQ≌△B′DQ,
∴∠BQD=∠B′QD,即直线l平分∠AQB.
【解析】此题主要考查了基本作图中线段垂直平分线的作法、两点之间线段最短等知识,利用线段垂直平分线的性质得出P点位置是解题关键.
【考点精析】通过灵活运用线段垂直平分线的判定,掌握和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上即可以解答此题.

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