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【题目】如图,△PQR是⊙O的内接正三角形,四边形ABCD是⊙O的内接正方形,BCQR,则∠AOQ= ____________

【答案】75°.

【解析】作辅助线连接OD,根据题意求出∠POQ和∠AOD的,利用平行关系求出∠AOP度数,即可求出∠AOQ的度数.

解:连接OD,AR,


∵△PQR是⊙O的内接正三角形,
∴∠PRQ=60°,
∴∠POQ=2×∠PRQ=120°,
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形,
∴△AOD为等腰直角三角形,
∴∠AOD=90°,
∵BC∥RQ,AD∥BC,
∴AD∥QR,
∴∠ARQ=∠DAR,
∴弧AQ=弧DR,
∵△PQR是等边三角形,
∴PQ=PR,
∴弧PQ=弧PR,
∴弧AP=弧PD,
∴∠AOP=∠AOD=45°,
所以∠AOQ=∠POQ-∠AOP=120°-45°=75°.

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