Question

13．如图（1）所示，在△ABC中，AD⊥BC于D．
（1）AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°，试求∠DAE的度数，你能把∠B，∠C，∠DAE的关系规律化吗？证明你的结论．
（2）设F为AE上任一点，当它在AE上滑动，AD变成FD，如图（2）时，结论还成立吗？当它滑动到AE的延长线上时，AD变成FD，如图（3）时，结论还成立吗？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）如图（1）先由互余计算出∠BAD=90°-∠B，再根据三角形内角和定理得到∠BAC=180°-∠B-∠C，而AE平分∠BAC，则∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC，于是∠DAE=∠BAE-∠BAD=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），然后把∠B=70°，∠C=34°代入计算即可；
（2）如图（2），结论成立．作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），根据平行线的性质易得∠DFE=∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；如图（3），结论成立，方法与图（2）一样．

解答 解：（1）如图（1）
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-34°=76°，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×76°=38°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=38°-20°=18°；
∠B，∠C，∠DAE的关系为∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），理由如下：
∵∠BAD=90°-∠B，
∠BAC=180°-∠B-∠C，
而AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$∠B-$\frac{1}{2}$C+∠B=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
（2）如图（2），结论成立．作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）；
如图（3），结论成立．理由如下：
作AH⊥BC于H，由（1）得∠HAE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵AH∥FD，
∴∠DFE=∠HAE，
∴∠DFE=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C）．

点评 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和主要用在求三角形中角的度数．也考查了三角形外角性质．