Question

7．抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与y轴于点C（0，4），与x轴交于点A、B，其中A（-2，0），抛物线对称轴直线x=1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式及其顶点坐标．
（2）若点F是抛物线上的一个动点，是否存在点F，使三角形ABF的面积为17？若存在求出F点坐标；不存在说明理由．
（3）平行于DE的一条动直线l与BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P坐标．

Answer 1

分析 （1）待定系数法求之即可；
（2）设出点F的横坐标，将三角形ABF的面积用F点的横坐标表示，然后等于17，解方程即可；
（3）设出P点的横坐标，纵坐标用横坐标表示，PQ的长度用纵坐标之差表示，然后令其等于DE，解方程即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）点C（0，4）和点A（-2，0），且对称轴为x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=4}\\{4a-2b+c=0}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴所以抛物线的解析式为：$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$
∵$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$=$-\frac{1}{2}{（x-1）}^{2}+\frac{9}{2}$，
顶点D的坐标为（1，$\frac{9}{2}$）；
（2）设F点坐标为（m，$-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+4$），三角形ABF的面积为S₁，
∵$y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+x+4$=$-\frac{1}{2}（x+2）（x-4）$，
∴B（4，0），
∴AB=6；
∴${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}×AB×|{y}_{F}|$=$\frac{1}{2}×6×|-\frac{1}{2}{m}^{2}+m+4|$=17，
即：$|\frac{3}{2}{m}^{2}-3m-12|=17$，
解得：x=$\frac{3+\sqrt{183}}{3}$或x=$\frac{3-\sqrt{183}}{3}$，
∴满足要求的F点的坐标为：（$\frac{3+\sqrt{183}}{3}$，-$\frac{17}{3}$）、（$\frac{3-\sqrt{183}}{3}$，-$\frac{17}{3}$）；

（3）∵B（4，0），C（0，4），
∴直线BC的解析式为：y=-x+4，
∴E（1，3），
∴DE=$\frac{3}{2}$，
设P（n，-n+4），则Q（n，$-\frac{1}{2}{n}^{2}+n+4$），
∴PQ=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+n+4$-（-n+4）=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+2n$，
∵DEPQ是平行四边形，
∴DE=PQ，
∴$-\frac{1}{2}{n}^{2}+2n$=$\frac{3}{2}$，
解得：n=3或n=1（舍去），
∴P点的坐标为（3，1）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积的坐标表示、解一元二次方程、平行四边形的判定等知识点，有一定综合性，难度适中．需要强调的是，将竖直方向上的线段长度或距离、水平方向上的长度或距离用坐标之差表示，对于解决坐标系中的动态几何计算问题有重要作用，要引起高度重视，本题的第（2）问与第（3）问都用到了这一方法．