Question

如图，P是AB上一点，△APC，△BDP都是等边三角形，连接BC和AD．
（1）图中有一对全等三角形，请你找出它们，并证明．
（2）AD与CP交于M，BC与DP交于N，判断△PMN的形状，并说明理由．
（3）AD与BC交于点E，求∠BED的度数．

Answer 1

解：（1）△APD≌△CPB，
∵△APC和△PDB都是等边三角形，
∴AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，
∴∠APC+∠CPD=∠DPB+∠CPD，即∠APD=∠CPB，
∴△APD≌△CPB（SAS）；

（2）∵△APD≌△CPB，
∴∠1=∠2，
在△MPD和△NPB中：
，
∴△MPD≌△NPB（ASA），
∴PM=PN，
∴△PMN为等腰三角形，
∵∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形；

（3）∵△APD≌△CPB，
∴∠1=∠2，
∵∠DPB是△APD的外角，
∴∠DPB=∠1+∠DAP=∠2+∠DAP=60°，
又∠DEB是△AEB的外角，
∴∠DEB=∠2+∠DAP=60°．
分析：（1）根据等边三角形的性质可得AP=PC，PD=PB，∠APC=∠DPB=60°，即可证明△APD≌△CPB；
（2）根据△APD≌△CPB得出∠1=∠2，再有条件DP=PB，∠CPD=∠DPB=60°，可以证出△MPD≌△NPB，可得到PM=PN，再由条件∠MPN=60°可得到△PMN是等边三角形；
（3）根据△APD≌△CPB，可得∠1=∠2，再根据三角形外角与内角的关系可得∠DPB=∠1+∠DAP=∠2+∠DAP=60°，继而得到∠DEB=60°．
点评：本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等．