Question

【题目】综合题:如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于
（1）【回顾】
如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 ．

（2）【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°= ，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°= ，请你写出小明或小丽推出sin75°= 的具体说理过程．

（3）【应用】
在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）

①点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；
②点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）如图3中，

由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b，

∵S四边形ABCD=BCABsin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH

∴ b2asin75°=2× ×a× a+2× ×b2+（ a﹣b）（b﹣a），

∴2 absin75°= ab+ab，

∴sin75°= ．

如图4中，

易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°，

∴S四边形EFGH=2S△ABE+2S△ADF+S平行四边形ABCD，

∴（a+b）（ a+b）═2× ×a× a+2× ×b2+ b2asin75°，

∴sin75°= ．

（3）①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．

在Rt△DCJ中，JC=CDsin75°= （ + ），

∴CH=2CJ= （ + ），

在Rt△BHC中，BH2=BC2+CH2=36+ （ + ）2=86+25 ，

∵EC=EH，

∴EB+EC=EB+EH，

在△EBH中，BE+EH≥BH，

∴BE+EC的最小值为BH，

∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25 ．

②结论：点G不是AD的中点．

理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

不妨设AG=GD=5，∵CD=5，

∴DC=DG，∵DH⊥CG，

∴GH=CH=3，

在Rt△CDH中，DH= = =4，

∵S△DGC= CGDH= DGCJ，

∴CJ= ，

∴sin∠CDJ= = ，

∵∠CDJ=75°，

∴与sin75°= 矛盾，

∴假设不成立，

∴点G不是AD的中点．

【解析】（1）由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b，

回顾：如图1中，作AH⊥BC．

在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，

∴AH=ABsin30°= ，

∴S△ABC= BCAH= ×4× =3，

所以答案是3．

【考点精析】认真审题，首先需要了解锐角三角函数的定义(锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数)．