Question

4．已知如图：D是⊙O劣弧AC的中点，连结AD并延长AD到B，使DB=AD，连结BC并延长交⊙O于E，连结AE，BF⊥AE于F．
（1）求证：AE是⊙O的直径．      
（2）若⊙O的半径为4，AD=2，求BF的长．

Answer 1

分析 （1）连接DE，根据D是⊙O劣弧AC的中点可知$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，故∠AED=∠BED，由DB=AD可得出DE⊥AB，故可得出结论；
（2）由（1）知AE是⊙O的直径，根据勾股定理求出DE的长，再由三角形的面积公式可得出结论．

解答 （1）证明：连接DE，
∵D是⊙O劣弧AC的中点，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠AED=∠BED，
∵DB=AD，
∴DE⊥AB，
∴AE是⊙O的直径．

（2）∵由（1）知AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°．
∵⊙O的半径为4，AD=2，
∴AE=8，
∴DE=$\sqrt{{8}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{15}$．
∵DB=AD，
∴AB=2AD=4．
∵BF⊥AE于F，
∴BF=$\frac{AB•DE}{AE}$=$\frac{4×2\sqrt{15}}{8}$=$\sqrt{15}$．

点评 此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．