Question

12．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．

Answer 1

分析 利用角平分线性质作垂线得到线段相等，再利用角平分线的逆定理得到所证结果．

解答 证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∴PD=PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴AP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

点评 本题考查角平分线性质，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．