Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的密距，记为d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）=0．

（1）如图1，⊙O的半径为2，

①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）= ，d（B，⊙O）= ．

②已知直线L：y=与⊙O的密距d（L，⊙O）=，求b的值．

（2）如图2，C为x轴正半轴上一点，⊙C的半径为1，直线y=﹣与x轴交于点D，与y轴交于点E，直线DE与⊙C的密距d（DE，⊙C）．请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）d（A，⊙O）= 1 ，d（B，⊙O）= 3 ；（2）b=；（3）.

【解析】

（1）①连接OB,只需求出OA、OB即可解答；②用面积法求出OK长,再根据题意建立关于b的方程即可解决问题；（2）根据题意，确定C点在x轴上的范围，根据求出界点值来确定m的范围.

（1）①如图，连接OB，过B点作BH⊥x轴，垂足为H,

∵⊙O的半径为2，点A（0，1），

∴d（A， ⊙O）=2-1=1；

∵B(4，3)，∴OB=5，

∴d（B，⊙O）=5-2=3.

②如图，设直线与x轴,y轴交P、Q两点，过O作OK⊥PQ,垂足为K,

∴P（ ，0）、Q（0，b），

∴OP= ，OQ=，

由勾股定理得，PQ=，,

∵ ，

∴，

∴OK=，

∵d（L，⊙O）=，

∴-2= ，

∴b=±4.

（2）如图，作CR⊥ED于点R，CS⊥ED于点S，

令CR=CS= ，则点C位于C和C之间（包括C和C ），

∵E（0， ），D（4，0），

∴OE=，OD=4，由勾股定理得，ED=，

∵sin∠CDR=，

∴ ，

∴OC=1，∴OC=7，

∴ .