Question

16．如图1，矩形ABCD中，点E、F分别在直线AB、BC上，AF=CE，连接EF，以EF为对角线作正方形EHFG．连接AH、CH
（1）请判断△AHC的形状，并证明；
（2）若AD=m，AB=n，则点H到AB的距离为$\frac{n-m}{2}$（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图2，连接AE，在AE上取一点M，连接HM，HM⊥FC．求证：AM=EM．

Answer 1

分析 （1）结论：△AHC是等腰直角三角形，只要证明△AFH≌△CEH即可．
（2）如图2中，作HN⊥AB于N，HM⊥CE于M．先证明四边形BMHN是正方形，设正方形边长为a，由△AHN≌△CHM，得到AN=CM，得到n-a=m+a，求出a即可解决问题．
（3）如图3中，作AN⊥HM于N，EP⊥HM于P，延长CF交HN于K．先证明△AHN≌△HCK，再证明△HKF≌△EPH，最后证明△AMN≌△EMP即可解决问题．

解答 解：（1）结论：△AHC是等腰直角三角形．
理由：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，四边形EGFH是正方形，
∴∠ABC=∠ABE=90°，FH=EH，∠EHF=90°，
∵∠BFB+∠EBF+∠HEC+∠EHF=360°，
∴∠BFH+∠HEC=180°，
∵∠AFH+∠BFH=180°，
∴∠AFH=∠HEC，
在△AFH和△CEH中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=EC}\\{∠AFH=∠HEC}\\{FH=HE}\end{array}\right.$，
∴△AFH≌△CEH，
∴AH=HC，∠AHF=∠EHC，
∴∠AHC=∠EHF=90°，
∴△AHC是等腰直角三角形．

（2）如图2中，作HN⊥AB于N，HM⊥CE于M．

∵∠HNB=∠NBM=∠M=90°，
∴四边形BMHN是矩形，
∵△AFH≌△CEH，
∴HN=HM，
∴四边形BMHN是正方形，设正方形边长为a，
在Rt△AHN和Rt△CHM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=HC}\\{HN=HM}\end{array}\right.$，
∴△AHN≌△CHM，
∴AN=CM，
∴n-a=m+a，
∴a=$\frac{n-m}{2}$
∴点H到AB的距离为$\frac{n-m}{2}$

（3）如图3中，作AN⊥HM于N，EP⊥HM于P，延长CF交HN于K．

∵CK⊥HK，
∴∠CKH=90°，
∵∠AHN+∠CHK=90°，∠CHK+∠HCK=90°，
∴∠AHN=∠HCK，
在△AHN和△HCK中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠CKH}\\{∠AHN=∠HCK}\\{AH=HC}\end{array}\right.$，
∴△AHN≌△HCK，
∴AN=HK，
在△HKF和△EPH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FKH=∠EPH}\\{∠FHK=∠PEH}\\{FH=EH}\end{array}\right.$，
∴△HKF≌△EPH，
∴HK=EP，
∴AN=EP，
在△AMN和△EMP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠P}\\{∠AMN=∠EMP}\\{AN=EP}\end{array}\right.$．
∴△AMN≌△EMP，
∴AM=ME．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．