Question

14．将边长为$\sqrt{5}$的正方形ABCD与边长为$\sqrt{2}$的正方形CEFG如图摆放，点G恰好落在线段DE上．连BE，则BE长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 连接BD，BG，设DC和BG相较于点O，利用△BOD∽△COG求出线段BO、OC、OD、OG，在RT△BGE中利用勾股定理即可求BE．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD、四边形CGEF都是正方形，
∴BC=CD=$\sqrt{5}$，CG=CE=$\sqrt{2}$，∠BCD=∠GCE=90°，∠DEC=∠CGE=45°，∠BDC=45°，
∴BD=$\sqrt{10}$，GE=2，
∴∠BCG=∠DCE，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠BGC=∠DEC=45°，
∴∠BGE=∠BGC+∠CGE=90°，
∵∠DOB=∠GOC，∠BDO=∠OGC，
∴△BDO∽△CGO，
∴$\frac{BD}{CG}=\frac{BO}{OC}=\frac{DO}{DG}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$，
设OC=k，则BO=$\sqrt{5}$k，∵BO²=OC²+BC²，
∴5k²=5+k²，
∴k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴OC=OD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，BO=2.5，OG=0.5，
∴BG=BO+OG=3，
在RT△BGE中，BG=3，EG=2，
∴BE=$\sqrt{B{G}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
故答案为$\sqrt{13}$．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、以及勾股定理的运用，正确添加辅助线，灵活运用三角形全等或相似是解题的关键．．