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【题目】探究题

如图,点O是等边△ABC内一点,∠A OB﹦1100,∠BOC﹦a,将△BOC绕点C按顺时钟方向旋转60O得△ADC,连接OD.

(1)求证:△COD是等边三角形;

(2)当a﹦150O时,试判断△AOD的形状,并说明理由;

(3)探究:当仅为多少度时,△AOD是等腰三角形?

【答案】(1)等边三角形;(2)直角三角形;(3)当的度数为时,△AOD是等腰三角形.

【解析】(1)根据旋转的性质可得出OC=OD,结合题意即可证得结论;

(2)结合(1)的结论可作出判断;

(3)找到变化中的不变量,然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.

(1)证明:∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC

CO=CD,∠OCD=60°

∴△COD是等边三角形.

(2)解:当=150°时,△AOD是直角三角形

理由是:∵△BOC≌△ADC

∴∠ADC=∠BOC=150°

又∵△COD是等边三角形

∴∠ODC=60°[来

∴∠ADO=∠ADC -∠ODC=90°,即△AOD是直角三角形.

(3)解:①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO

∵∠AOD= = ,∠ADO=

=

②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO

∵∠OAD=(∠AOD+∠ADO)==

=

③要使DO=DA,需∠OAD=∠AOD.

∵∠AOD= = ,∠OAD==,解得

综上所述:当的度数为时,△AOD是等腰三角形.

“点睛”本题以“空间与图形”中的核心知识(如等边三角形)的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等)为载体,内容由浅入深,层层递进,试题中几何演绎推理的难度适中,蕴含着丰富的思想方法(如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等)能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.

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