Question

14．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若∠BAC＜90°，作EA⊥AC，FA⊥BA，且AE=AC，AF=AB．连接EF，写出AD与EF的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 首先延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，易证得△ACD≌△GBD（SAS），则可得∠DBG=∠C，BG=AC，又由EA⊥AC，FA⊥BA，且AE=AC，AF=AB，可证得∠EAF=∠ABG，AE=BG，继而证得△AEF≌△BGA（SAS），则可证得结论．

解答 解：EF=2AD．
理由：延长AD到G，使得DG=AD，连接BG，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ACD和△GBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=GD}\\{∠ADC=∠GDB}\\{CD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△GBD（SAS），
∴∠DBG=∠C，BG=AC，
∵EA⊥AC，FA⊥BA，
∴∠EAC=∠FAB=90°，
∴∠EAF=∠EAC+∠FAB-∠BAC=180°-∠BAC，
∵∠ABG=∠ABC+∠GBC=∠ABC+∠C=180°-∠BAC，
∴∠EAF=∠ABG，
∵AE=AC，AF=AB，
∴AE=BG，
在△AEF和△BGA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BG}\\{∠EAF=∠GBA}\\{AF=AB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BGA（SAS），
∴EF=AG=2AD．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．