Question

6．如图，已知A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），点P为线段OB上一动点（不包括点O），CD⊥CP交x轴于点D，当P点运动时：
（1）求证：∠CPO=∠CDO；
（2）求证：CP=CD；
（3）下列两个结论：①AD-BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理得出∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，根据∠OKP=∠CKD即可求出∠CPO=∠CDO；
（2）过C作CN⊥x轴于N，CQ⊥y轴于Q，则∠CND=∠CQP=90°，求出CQ=CN，根据AAS推出△CND≌△CQP即可；
（3）求出AN=3，BQ=5，根据全等得QP=ND，求出AD+BP=AN+QB，代入求出即可．

解答 （1）证明：∵x轴⊥y轴，CP⊥CD，
∴∠DCP=∠DOP=90°，
∴∠CPO+∠OKP=∠CDO+∠CKD=90°，
∵∠OKP=∠CKD，
∴∠CPO=∠CDO；

（2）证明：过C作CN⊥x轴于N，CQ⊥y轴于Q，

则∠CND=∠CQP=90°，
∵C（1，1），
∴CQ=CN，
在△CND和△CQP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠CPQ}\\{∠CQP=∠CND}\\{CN=CQ}\end{array}\right.$，
∴△CND≌△CQP（AAS），
∴CP=CD；

（3）解：AD+BP的值不变，
∵A（-2，0），B（0，-4），C（1，1），
∴AN=2+1=3，BQ=4+1=5，
∵△CND≌△CQP，
∴QP=ND，
∵AD+BP=AN+ND+BP=AN+QP+BP=AN+QB=3+5=8，
∴AD+BP的值不变，是8．

点评 本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线并求出△CND≌△CQP是解此题的关键．