Question

11．如图，四边形OACB中，CM⊥OA，∠A+∠B=180°，OA+OB=2OM，CA=CB．求证：OC平分∠AOB．

Answer 1

分析 作CN⊥OB于N，由邻补角定义和已知条件证出∠1=∠A，由AAS证明△BCN≌△ACM，得出CN=CM，即可得出OC平分∠AOB．

解答 证明：作CN⊥OB于N，如图所示：
则∠CNB=90°，
∵CM⊥OA，
∴∠CMA=90°=∠CNB，
∵∠A+∠OBC=180°，∠1+∠OBC=180°，
∴∠1=∠A，
在△BCN和△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠A}&{\;}\\{∠CNB=∠CMA}&{\;}\\{CB=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△ACM（AAS），
∴CN=CM，
又∵CN⊥OB于N，CM⊥OA于M，
∴OC平分∠AOB．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、邻补角定义；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．