Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∠EPF=90°，PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△APC；④EF=AP．上述结论正确的有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】C

【解析】∵AB=AC，P是BC的中点，∠BAC=90°，
∴AP⊥BC，AP=BC=PC，

∴∠CPF+∠APF=90°，∠BAP=∠C=45°，

∵∠EPF=90°，∴∠APE+∠APF=90°，

∴∠APE=∠CPF，

在△APE和△CPF中，∵∠APE=∠CPF，AP=CP，∠BAP=∠C，

∴△APE≌△CPF，∴AE=CF，EP=FP，∴△EPF是等腰直角三角形，故①②正确；

∵△APE≌△CPF，∴S△APE=S△CPF，∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC，故③正确；

在等腰直角△EFP中，由勾股定理得EF=PE，则若要使EF=AP，则AP=PE，

而点E在AB上是可以变动的，只有当点E为AB的中点时，AP=PE，故④错误.

综上所述，正确的结论有①②③共3个．

故选C．