Question

已知关于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的最小整数值；
（2）若（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式的符号列出关于k的不等式（2k+1）²-4k²＞0，且k≠0，通过解该不等式即可求得k的取值范围，由此来确定k的最小整数值；
（2）根据根与系数的关系确定x₁x₂、x₁+x₂的符号，从而去掉绝对值，列出关于k的方程3k²+k+2=0，通过解方程即可求得k的值．

解答：解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，且k≠0，
即（2k+1）²-4k²＞0，
解得k＞-

1

4

，
∵k取最小整数，
∴k=1；

（2）∵x₁、x₂是方程两个不相等的实数根，
∴x₁+x₂=-

b

a

=

2k+1

k2

，x₁x₂=

c

a

=

1

k2

＞0，
∴x₁、x₂同号，
∴|x₁|•|x₂|=|x₁x₂|，|x₁|+|x₂|=|x₁+x₂|，
∵（|x₁|-1）（|x₂|-1）=-3k，
∴|x₁x₂|-（|x₁|+|x₂|）+1=-3k，
∴

1

k2

-

|2k+1|

k2

+1=-3k，
由（1）知k＞-

1

4

，
则|2k+1|=2k+1，
于是可得3k²+k-2=0，
解得k₁=

2

3

，k₂=-1（不合题意，舍去）．

点评：此题考查了根与系数的关系与根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握根与系数的关系：若一元二次方程x²+px+q=0的两个根分别是x₁、x₂，则x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q．