Question

【题目】现阅读下面的材料，然后解答问题：

截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．

请用截长法解决问题（1）

（1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：．

请用补短法解决问题（2）

（2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据截长法，在上截取，连接，通过题目条件可证，进而证得是等腰直角三角形，等量代换即可得；

（2）根据补短法，延长到，使，连接，根据已知条件可证，进而可证，等量代换即可得证．

（1）证明：如图1，在上截取，连接，

∵是角平分线，

∴

在和中

∴

∴，

又∵是等腰直角三角形，

∴，∴是等腰直角三角形，

∴，

∴．

（2）如图2，延长到，使，连接，

∵是的角平分线，

∴

在和中

∴，

∴

∵，，

∴，

∴，

∴．