Question

4．已知二次函数y=x²+mx+m-2
（1）求证：不论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若x轴截抛物线所得的弦长为$\sqrt{13}$时，求这时的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）先计算判别式的值得到△=（m-2）²+4，再利用非负数的性质判断△＞0，然后根据△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点即可得到结论；
（2）设抛物线与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），利用抛物线与x轴的交点问题，可判断a、b为方程x²+mx+m-2=0的两根，则根据根与系数的关系得到a+b=-m，ab=m-2，由于|a-b|=$\sqrt{13}$，则（a+b）²-4ab=13，所以m²-4（m-2）=13，然后解方程求出m的值即可得到抛物线解析式．

解答 （1）证明：△=m²-4（m-2）
=m²-4m+8
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴△＞0，
∴不论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）解：设抛物线与x轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），
则a、b为方程x²+mx+m-2=0的两根，
∴a+b=-m，ab=m-2，
∵|a-b|=$\sqrt{13}$，
∴（a-b）²=13，
∴（a+b）²-4ab=13，
∴m²-4（m-2）=13，
整理得m²-4m-5=0，解得m₁=5，m₂=-1，
∴抛物线的解析式为y=x²+5x+3或y=x²-x-3．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标转化为解关于x的一元二次方程；△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．