Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1），D（2，8）；（2）F（﹣1，）或（﹣3，）；（3）Q（2，）或（2，）．

【解析】（1）将点B（6，0）、C（0，6）代入中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为．

∵=，∴点D的坐标为（2，8）．

（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如图1所示．

∵∠F′BO=∠FBA=∠BDE，∠F′OB=∠BED=90°，∴△F′BO∽△BDE，∴．

∵点B（6，0），点D（2，8），∴点E（2，0），BE=6﹣4=4，DE=8﹣0=8，OB=6，∴OF′=OB=3，∴点F′（0，3）或（0，﹣3）．

设直线BF的解析式为y=kx±3，则有0=6k+3或0=6k﹣3，解得：k=﹣或k=，∴直线BF的解析式为或．联立直线BF与抛物线的解析式得：①或②，解方程组①得：或（舍去），∴点F的坐标为（﹣1，）；

解方程组②得：或（舍去），span>∴点F的坐标为（﹣3，）．

综上可知：点F的坐标为（﹣1，）或（﹣3，）．

（3）设对角线MN、PQ交于点O′，如图2所示．

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2﹣n，n）．

∵点M在抛物线的图象上，∴，即，解得：=，=，∴点Q的坐标为（2，）或（2，）．