Question

11．某商店经销《超能陆战队》超萌“小白”玩具，“小白”玩具每个进价60元，每个玩具不得低于80元出售．销售“小白”玩具的单价m （元/个）与销售数量n （个）之间的函数关系如图所示．
（1）试解释线段AB所表示的实际优惠销售政策；
（2）写出该店当一次销售n（n＞10）个时，所获利润w（元）与n（个）之间的函数关系式；
（3）店长经过一段时间的销售发现：卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到多少元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求线段AB的函数的解析式，设m=kx+b，把A（10，100）和B（30，80）代入上式得到关于k、b的方程组，解方程组求出解析式；然后根据解析式解释线段AB所表示的实际优惠销售政策即可；
（2）分类讨论：当10＜n＜30时，W=（m-60）n；当n≥30时，W=（80-60）n；
（3）配方W=-n²+50n得到W=-（n-25）²+625，根据二次函数的性质讨论增减性，可得卖26个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元．

解答 解：（1）设m=kx+b，
把A（10，100）和B（30，80）代入上式，得
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=100}\\{30k+b=80}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=110}\end{array}\right.$，
∴线段AB的函数的解析式为m=-n+110（10≤n≤30）；
由解析式可知线段AB所表示的实际优惠销售政策：一次性销售10到30个时，每多销售1个，玩具的单价下降1元；
（2）当10＜n＜30时，W=（m-60）n=（-n+110-60）n=-n²+50n，
当n≥30时，W=（80-60）n=20n；
（3）W=-n²+50n=-（n-25）²+625，
①当10＜n≤25时，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大；
②当25＜n≤30时，W随n的增大而减小，即卖的越多，利润越小；
∴卖25个赚的钱反而比卖30个赚的钱多．
∴当n=25时，m=-n+110=85，
∴当每个玩具不得低于85元时，n的位置范围为10＜n≤25，函数图象都在最对称轴左侧，W随n的增大而增大，即卖的越多，利润越大，
所以为了不出现这种现象，在其他条件不变的情况下，店长应把最低价每个80元至少提高到85元．

点评 本题考查了二次函数的应用：先得到二次函数的顶点式y=a（x-h）²+k，当a＜0，x=h时，y有最大值k；当a＜0，x=h时，y有最小值k；也考查了二次函数的增减性以及利用待定系数法求函数的解析式．熟练的运用二次函数的增减性质是解决问题的关键．