Question

2．如图，在正方形ABCD中，直角∠EAF的顶点与A重合，角的两边与CB的延长线、CD分别交于E、F两点，连接BF，直线BF与直线AE和对角线AC分别交于P、Q两点．若四边形AECF的面积为9，AF=$\sqrt{10}$，则PQ=$\frac{36\sqrt{13}}{35}$．

Answer 1

分析 延长AD与PF交于H点，易证△ABE≌△ADF，则四边形AECF的面积=正方形ABCD的面积=9，可求得正方形的边长，根据勾股定理求出DF=BE，进而求出CF、BF，然后由△DFH∽△CFB，求出DH，再由△PEB∽△PAH，求出PE，根据勾股定理计算出PF，再由△CFQ∽△ABQ，求出QF，即可求出PQ．

解答 解：如图，延长AD与PF交于H点，
∵四边形ABCD是正方形，∠EAF=90°，
则△ABE≌△ADF，
∴四边形AECF的面积=正方形ABCD的面积=9，
∴AB=BC=CD=AD=3，
∵AF=$\sqrt{10}$，
∴DF=BE=1，
∴CF=2，BF=$\sqrt{13}$，
∵BC∥AD，
∴△DFH∽△CFB，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{DH}{BC}$，
∴DH=$\frac{3}{2}$，
又∵△PEB∽△PAH，
∴$\frac{PE}{PA}=\frac{BE}{AH}$，
∴$\frac{PE}{PE+\sqrt{10}}=\frac{1}{3+\frac{3}{2}}$，
∴PE=$\frac{2\sqrt{10}}{7}$，
在Rt△APF中
PF=$\sqrt{A{P}^{2}+A{F}^{2}}$=$\frac{10\sqrt{13}}{7}$，
又∵△CFQ∽△ABQ，
∴$\frac{CF}{AB}=\frac{FQ}{BQ}=\frac{2}{3}$，
∴FQ=$\frac{2}{5}$BF=$\frac{2\sqrt{13}}{5}$，
∴PQ=PF-FQ=$\frac{10\sqrt{13}}{7}$-$\frac{2\sqrt{13}}{5}$=$\frac{36\sqrt{13}}{35}$．
故答案为：$\frac{36\sqrt{13}}{35}$．

点评 本题主要考查了等积变换、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合运用，难度较大，意识到求PQ，要先求出PF和QF是解决问题的关键．