Question

14．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，且OB=2，点M（m，0），N（0，n），将点B向上平移2个单位长度后得到点B₁．若∠MB₁N=90°，且mn=3，则B₁M=$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由全等三角形△DB₁N≌△BB₁M（ASA）的对应边相等得到：DN=BM，根据点B、M、N的坐标得到：BM=2-m，DN=n-2，则2-m=n-2，所以m+n=4，结合已知条件“mn=3”可以求得m、n的值；所以根据两点间的距离公式得到：B₁M=$\sqrt{5}$．

解答 解：如图，过点B₁作B₁D⊥y轴，垂足为点D，
∵点B在x轴正半轴上，且OB=2，
∴B（2，0），
∵点B向上平移2个单位长度后得到点B′，
∴B₁（2，2），
∴BB′=B₁D=2，
∵∠B₁BM=90°，∠DOB=90°，∠B₁DO=90°，
∴∠DB₁B=90°，
∴∠DB₁M+∠BB₁M=90°，
∵∠MB₁N=90°，
∴∠DB₁M+∠DB₁N=90°，
∴∠DB₁N=∠BB₁M，
在△DB₁N和△BB₁M中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DB′N=∠BB′M}\\{BB′=B′D}\\{∠B′DN=∠B′BM}\end{array}\right.$，
∴△DB₁N≌△BB₁M（ASA），
∴DN=BM，
∵点M（m，0），N（0，n），
∴BM=2-m，DN=n-2，
∴2-m=n-2，
即m+n=4，
∵mn=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$．
故B₁M=$\sqrt{（2-m）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案是：$\sqrt{5}$．

点评 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，求m、n的值时，可以把m、n看作关于x的方程x²-4m+3=0的两个根．通过解该方程求得它们的值即可．