在平面直角坐标系中.O为原点.点B在x轴的正半轴上.D(0.8).将矩形OBCD折叠.使得顶点B落在CD边上的P点处．(I)如图①.已知折痕与边BC交于点A.若OD=2CP.求点A的坐标．(Ⅱ)若图①中的点 P 恰好是CD边的中点.求∠AOB的度数．的条件下.擦去折痕AO.线段AP.连接BP.动点M在线段OP上.动点N在线段OB的延长线上.且BN=PM.连接MN交PB于点F.作ME� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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19．在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（I）如图①，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点A的坐标．
（Ⅱ）若图①中的点 P 恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数．
（Ⅲ）如图②，在（I）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度（直接写出结果即可）

分析（1）设OB=OP=DC=x，则DP=x-4，在Rt△ODP中，根据OD²+DP²=OP²，解得：x=10，然后根据△ODP∽△PCA得到AC=$\frac{x-4}{2}$=3，从而得到AB=5，表示出点A（10，5）；
（2）根据点P恰好是CD边的中点设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根据OD²+DP²=OP²，解得：y=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，然后利用△ODP∽△PCA得到AC=$\frac{{y}^{2}}{8}$=$\frac{8}{3}$，从而利用tan∠AOB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$得到∠AOB=30°；
（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=$\frac{1}{2}$PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=$\frac{1}{2}$QB，再求出EF=$\frac{1}{2}$PB，由（1）中的结论求出PB，最后代入EF=$\frac{1}{2}$PB即可得出线段EF的长度不变．

解答解：（1）∵D（0，8），
∴OD=BC=8，
∵OD=2CP，
∴CP=4，
设OB=OP=DC=x，
则DP=x-4，
在Rt△ODP中，OD²+DP²=OP²，
即：8²+（x-4）²=x²，
解得：x=10，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ODP∽△PCA，
∴OD：PC=DP：CA，
∴8：4=（x-4）：AC，
则AC=$\frac{x-4}{2}$=3，
∴AB=5，
∴点A（10，5）；

（2）∵点 P 恰好是CD边的中点，
设DP=PC=y，
则DC=OB=OP=2y，
在Rt△ODP中，OD²+DP²=OP²，
即：8²+y²=（2y）²，
解得：y=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ODP∽△PCA，
∴OD：PC=DP：CA，
∴8：y=y：AC，
则AC=$\frac{{y}^{2}}{8}$=$\frac{8}{3}$，
∴AB=8-$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$，
∵OB=2y=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠AOB=$\frac{AB}{OB}$=$\frac{\frac{16}{3}}{\frac{16\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AOB=30°；

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2，
∵AP=AB，MQ∥AN
∴∠APB=∠ABP=∠MQP．
∴MP=MQ，
∵BN=PM，
∴BN=QM．
∵MP=MQ，ME⊥PQ，
∴EQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ和△NFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠QMF=∠NFB}\\{∠QMF=∠BNF}\\{MQ=BN}\end{array}\right.$，
∴△MFQ≌△NFB（AAS）．
∴QF=$\frac{1}{2}$QB，
∴EF=EQ+QF=$\frac{1}{2}$PQ+$\frac{1}{2}$QB=$\frac{1}{2}$PB，
由（Ⅰ）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，
∴PB=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$PB=2$\sqrt{5}$，
∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2$\sqrt{5}$．

点评此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出全等和相似的三角形．

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