Question

12．如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半轴上，直线y=-x+6交边BC于点M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面积相等的两部分，过点M的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交边AB于点N．若△OAN的面积是4，求△OMN的面积．

Answer 1

分析 由反比例函数性质求出S_△OCM=S_△OAN=4，得到mn=8，根据点M（m，n）在直线y=-x+6上，得到-m+6=n，联立解方程组，得m、n的值，再根据直线y=-x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，求出点B的坐标，进而求出OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，由S_△OMN=S_矩形OABC-S_△OCM-S_△BMN-S_△OAN计算即可．

解答 解：∵点M、N在双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）上，
∴S_△OCM=S_△OAN=4，
∴$\frac{1}{2}$mn=4，
∴mn=8，
∵点M（m，n）在直线y=-x+6上，
∴-m+6=n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=8}\\{-m+6=n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=2}\end{array}\right.$（舍去）
∵直线y=-x+6分矩形OABC面积成相等的两部分，
∴直线y=-x+6过矩形OABC的中心，
设B（a，4）
∴E（$\frac{a}{2}$，2）
∴-$\frac{a}{2}$+6=2
∴a=8，
∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△OCM-S_△BMN-S_△OAN=32-4-9-4=15．

点评 本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数与反比例函数的综合运用、待定系数法以及数形结合思想，求出m、n的值以及点B的坐标是解决问题的关键．