Question

如图，抛物线y=-x²+4x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若P是x轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．（直接写出答案）

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,等腰三角形的判定

专题：

分析：（1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式，把解析式换成顶点式即可求得顶点坐标．
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①PA=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；
②PB=AB，此时P与A关于y轴对称，由此可求出P点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+4x+n经过点A（1，0）
∴n=-3
∴y=-x²+4x-3；
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点坐标为（2，1）；
（2）∵抛物线的解析式为y=-x²+4x-3，
∴令x=0，则y=-3，
∴B点坐标（0，-3），AB=

10

，
①当PA=AB时，PA=AB=

10

，
∴OP=PA-OA=

10

-1或OP=

10

+1．
∴P（-

10

+1，0）或（

10

+1，0）；
②当PB=AB时，P、A关于y轴对称，
∴P（-1，0）
因此P点的坐标为（-

10

+1，0）或（

10

+1，0）或（-1，0）．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的构成等知识点，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．