Question

如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．

Answer 1

解：（1）∵直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴可得A（1，0），B（0，-3），
把A、B两点的坐标分别代入y=x²+bx+c得：，
解得：．
∴抛物线解析式为：y=x²+2x-3．

（2）令y=0得：0=x²+2x-3，
解得：x₁=1，x₂=-3，
则C点坐标为：（-3，0），AC=4，
故可得S_△ABC=AC×OB=×4×3=6．

（3）抛物线的对称轴为：x=-1，假设存在M（-1，m）满足题意：
讨论：
①当MA=AB时，，
解得：，
∴M₁（-1，），M₂（-1，-）；
②当MB=BA时，，
解得：M₃=0，M₄=-6，
∴M₃（-1，0），M₄（-1，-6）（不合题意舍去），
③当MB=MA时，，
解得：m=-1，
∴M₅（-1，-1），
答：共存在4个点M₁（-1，），M₂（-1，-），M₃（-1，0），M₄（-1，-1）使△ABM为等腰三角形．
分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；
（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；
（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（-1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．
点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．