Question

【题目】（1）问题发现：如图1，在平面直角坐标系中，A点的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），连接AB，点C是AB的中点，点Q是线段AO上的动点，连接OC、CQ，以BQ为边构造等边△BPQ，连接OP、PQ．填空：

①OP与CQ的大小关系是　 　．

②OP的最小值为　 　．

（2）解决问题：在（1）的条件下，点Q运动的过程中当△ACQ为直角三角形时，求OP的长？

（3）拓展探究：如图2，当点B为直线x＝﹣1上一动点，点A（2，0），连接AB，以AB为一边向下作等边△ABP，连接OP，请直接写出OP的最小值．

Answer 1

【答案】（1）①OP＝CQ；②1；（2）OP的长为1或；（3）OP的最小值为+1

【解析】

（1）①证明△OBC是等边三角形，得出OB＝BC，证明△PBO≌△QBC（SAS），可得出结论；

②当CQ⊥OA时，CQ值最小，得出最小值为OB＝1；

（2）分两种情况：①以Q点为直角顶点时，CQ⊥AO于点Q，②以C点为直角顶点时，CQ⊥AC，由直角三角形的性质可得出答案；

（3）以OA为对称轴，在x＝﹣1上取D，E两点，作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．证明△AEP≌△ADB（SAS），得出∠AEP＝∠ADB＝120°，可求出HF，OF，当OP⊥EF时，OP最小，则OP＝OF＝．

解：（1）问题发现

①∵A点的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2），

∴OA＝2，OB＝2，

，

∴∠OBA＝60°，

∵C是AB的中点，

∴OB＝OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB＝BC，

∵△BPQ是等边三角形，

∴PB＝BQ，∠PBQ＝60°，

∴∠PBO＝∠QBC，

∴△PBO≌△QBC（SAS），

∴OP＝CQ，

②∵C是AB的中点，

∴CQ⊥OA时，CQ值最小，最小值为OB＝1，

∴OP的最小值为1．

故答案为：OP＝CQ；1；

（2）解决问题

当三角形ACQ为直角三角形时，

①以Q点为直角顶点时，CQ⊥AO于点Q，

∵C为AB的中点，

∴AC＝，

∴CQ＝AC＝1，

即OP＝1，

②以C点为直角顶点时，CQ⊥AC，

∵AC＝2，

∴CQ＝ACtan30°＝2span>×＝．

即OP＝．

综上所述：当三角形ACQ为直角三角形时，OP的长为1或；

（3）拓展探究

如图，以OA为对称轴，在x＝﹣1上取D，E两点，作等边△ADE，连接EP，并延长EP交x轴于点F．

在△AEP与△ADB中，

∵AB＝AP，∠BAD＝∠PAE，AD＝AE，

∴△AEP≌△ADB（SAS），

∴∠AEP＝∠ADB＝120°，

∴∠HEF＝60°，且EH⊥AF，

∴HF＝HA＝+1，

∴FO＝FH+OH＝+2．

∴点P在直线EF上运动，

当OP⊥EF时，OP最小，

∴OP＝OF＝，

则OP的最小值为+1．