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【题目】如图,在RtABC中,ACB=90°,AC=8,BC=6,CDAB于点D点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止设运动时间为t秒

1求线段CD的长;

2当t为何值时,CPQ与ABC相似?

3当t为何值时,CPQ为等腰三角形?

【答案】14823或324秒或秒或

【解析】

试题分析:1先根据勾股定理求出AB的长,再由三角形的面积公式即可得出结论;

2先用t表示出DP,CQ,CP的长,再分PQCD与PQAC两种情况进行讨论;

3根据题意画出图形,分CQ=CP,PQ=PC,QC=QP三种情况进行讨论

试题解析:1∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=10

CDAB,

SABC=BCAC=ABCD

CD=

线段CD的长为48

2由题可知有两种情形,

设DP=t,CQ=t则CP=48-t

当PQCD时,如图a

∵△QCP∽△△ABC

,即

t=3;

当PQAC,如图b

∵△PCQ∽△ABC

,即,解得t=

当t为3或时,CPQ与△△ABC相似;

3若CQ=CP,如图1,

则t=48-t

解得:t=24

若PQ=PC,如图2所示

PQ=PC,PHQC,

QH=CH=QC=

∵△CHP∽△BCA

,解得t=

若QC=QP,

过点Q作QECP,垂足为E,如图3所示

同理可得:t=

综上所述:当t为24秒或秒或秒时,CPQ为等腰三角形

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