Question

7．如图，BF是△ABC的角平分线，AM⊥BF于M，CE平分△ABC的外角，AN⊥CE于N，
（1）求证：MN∥BC；
（2）若AB=c，AC=b，BC=a，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）延长AM交BC于G，延长AN交BC的延长线于点H，先根据AAS证明△ABM≌△GBM，得出AM=GM，同理得出AN=HN，证出MN是△AGH的中位线，即可得出MN∥GH，MN=$\frac{1}{2}$GH；
（2）由△ABM≌△GBM得出BG=AB=c，同理得：CH=AC=b，求出GH=a-c+b，根据中位线定理即可求出MN．

解答 解：（1）延长AM交BC于G，延长AN交BC的延长线于点H，如图所示：
∵BF是△ABC的角平分线，AM⊥BF于M，
∴∠1=∠2，∠AMB=∠GMB=90°，
在△ABM和△GBM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{BM=BM}&{\;}\\{∠AMB=∠GMB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△GBM（ASA），
∴AM=GM，
同理可证：AN=HN，
∴MN是△AGH的中位线，
∴MN∥GH，MN=$\frac{1}{2}$GH，
∴MN∥BC；
（2）由△ABM≌△GBM得：BG=AB=c，
同理得：CH=AC=b，
∴GC=BC-BG=a-c，
∴GH=a-c+b，
∴MN=$\frac{1}{2}$（a-c+b）．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理；通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．