Question

（1）已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x₁=1，x₂=2．当x=3时，y=4，求这个函数的关系式，并写出它的对称轴和顶点坐标．
（2）一变：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴两交点间的距离为1，对称轴为x=，且当x=3时，y=4．求这个函数的关系式，并写出图象的顶点坐标和最值．

Answer 1

解：∵两个交点横坐标为x₁=1，x₂=2，
∴这两个交点坐标为（1，0），（2，0）．
把点（1，0），（2，0），（3，4）分别代入函数：y=ax²+bx+c，
得，
解得
∴函数的关系式为：y=2x²-6x+4．
∵=2x²-6x+4=，
∴顶点为，对称轴为直线x=．

（1）∵抛物线与x轴两交点间距离为1，对称轴为x=，
∴抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（2，0）．
于是把（1，0），（2，0），（3，4）分别代入y=ax²+bx+c，
得，
解得，
∴函数的关系式为：y=2x²-6x+4．
∵y=2x²-6x+4=，
∴顶点为，
∵a=2＞0，
∴函数有最小值，当x=时，y_最小值=．
分析：（1）先设出二次函数的解析式为：y=ax²+bx+c，由题意二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标为x₁=1，x₂=2．当x=3时，y=4，知二次函数过点（1，0），（2，0），（3，4），代入函数解析式，根据待定系数法求出函数的解析式，再将函数一般式化为顶点式，写出它的对称轴和顶点坐标．
（2）由题意二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴两交点间的距离为1，对称轴为x=，且当x=3时，y=4，再根据待定系数法求出函数解析式，由函数的性质求出最值．
点评：此题主要考查函数图象的性质、对称轴、顶点坐标及函数的最值，另外此题解方程组比较麻烦，侧面考查学生的计算能力．