分析 （1）由直线y=kx+3k求出点A坐标，代入抛物线解析式即可解决问题．
（2）分四种情形讨论①如图1中，当Q在DA的延长线上时，∠BQD=30°，△BQD～△AOM，②当Q与点A重合时，∠BQD=60°△DQB～△OAM，③如图2中，当Q在线段DC上时，∠BQD=60°，△DQB～△OAM，④如图3中，当∠BQD=30°时，△DQB～△OMA分别解直角三角形即可．
（3）求出直线PC的解析式，与抛物线组成方程组求出点E坐标，再求出直线AE后求出点N坐标，用k表示OM、ON即可解决问题．
解答 （1）解：y=0，kx+3k=0解之得x=-3，所以A（-3，0），
因为A（-3，0）在y=-ax2-4ax-$\frac{3}{4}$，所以0=-9a+12a-$\frac{3}{4}$，
解之可得a=$\frac{1}{4}$，
所以该二次函数的表达式y=-$\frac{1}{4}$x2-x-$\frac{3}{4}$，
（2）在Rt△AOM中，OA=3，OM=3$\sqrt{3}$tan∠OAM=$\frac{OM}{AO}$=$\sqrt{3}$，所以∠OAM=60°，
①如图1中，当Q在DA的延长线上时，∠BQD=30°，△BQD∽△AOM，
在Rt△ABD中，BD=BA×sin60°=$\sqrt{3}$，
在Rt△BQD中，BD=OQ×sin30°=$\sqrt{3}$，解得BQ=2$\sqrt{3}$，
过Q作在QQ′⊥x轴垂足为Q′，
∵∠BAD=60°=∠BQA+∠QBA，∠BQD=30°，
∴∠QBQ′=30°，
在RT△BQQ′中，∵∠QBQ′=30°，BQ=2$\sqrt{3}$，
QQ′=$\sqrt{3}$，BQ′=3，
所以Q（-4，$\sqrt{3}$）．
②当Q与点A重合时，∠BQD=60°△DQB∽△OAM，此点Q（-3，0）．
③如图2中，当Q在线段DC上时，∠BQD=60°，△DQB∽△OAM，
在△AQB中，∠BAQ=∠AQB=60°，
得BQ=AB=2，
所以Q（-2，-$\sqrt{3}$）．
④如图3中，当∠BQD=30°时，△DQB∽△OMA，此时BQ∥OM
设Q（-1，y）在直线y=-$\sqrt{3}$x-3$\sqrt{3}$-上，解得y=-2$\sqrt{3}$，
从而Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．
综上所述，Q（-4，$\sqrt{3}$）或Q（-3，0）或Q（-2，-$\sqrt{3}$）或Q（-1，-2$\sqrt{3}$）．
（3）如图4中，直线y=kx+3k与二次函数y=-$\frac{1}{4}$x2-x-$\frac{3}{4}$图象的交点是A，C两点，
所以$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{4}{x^2}-x-\frac{3}{4}\\ y=kx+3k\end{array}$，整理可得$\frac{1}{4}{x}^{2}$+（k+1）x+（$\frac{3}{4}$+3k）=0，
又因为A（-3，0），C（x1，y1），
所以x1=-4k-1，y1=-4k2+2k，
过点P（-1，2）与点C的直线：Y=$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$x+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$+2，
直线PC与抛物线的交点，$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\\{y=\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}x+\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}+2}\end{array}\right.$，消去y整理得到：
$\frac{1}{4}\\;{x}^{2}$x2+（1+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}$）x+$\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}-\frac{5}{4}$=0，
∴x2+x1=x2+（-4k-1）=-$\frac{1+\frac{-4{k}^{2}+2k-2}{-4k}}{\frac{1}{4}}$，
∴x2=-1-$\frac{2}{k}$，y2=$\frac{1}{k}-\frac{1}{{k}^{2}}$，
∴直线AE为y=$\frac{1}{2k}$x+$\frac{3}{2k}$，
∴OM=-3k，ON=-$\frac{3}{2k}$，
∴OM•ON=（-3k）（-$\frac{3}{2k}$）=$\frac{9}{2}$．
∴OM•ON是定值，这个定值是$\frac{9}{2}$．
点评 本题考查二次函数的有关知识、相似三角形的判定和性质、直角三角形30度角的性质等知识，学会待定系数法确定函数解析式是解题的关键，学会用参数表示直线解析式、点的坐标，掌握分类讨论的思想，属于中考压轴题．
名校课堂系列答案科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD长分别为6cm、8cm，且AE⊥BC，这个菱形的面积S=24cm2，AE=$\frac{24}{5}$cm．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
如图，小明在A时测得某树的影长为1m，B时又测得该树的影长为4米，若两次日照的光线互相垂直，树的高度为（ ）| A． | 2m | B． | $\sqrt{3}$m | C． | $\sqrt{2}$m | D． | $\sqrt{5}$m |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
某餐厅为了吸引顾客，举行吃套餐优惠活动，套餐每套20元，每消费一套即可直接获得10元餐劵，或者参与游戏赢得餐劵．游戏规则如下：设立了一个可以自由转动的转盘（如图，转盘被平均分成12份），顾客每消费一套套餐，就可以获得一次转动转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色、空白区域，那么顾客就可以分别获得20元、15元、10元、5元餐劵，下次就餐时可以代替现金消费．查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，∠B=∠1，那么根据两直线平行，同位角相等，可得AD∥BC．
如图，AB是⊙O的直径，∠ABC=70°，则∠D的度数为20°．