Question

10．已知⊙O的半径为$\sqrt{6}$，OC垂直于弦AB，垂足为C，AB=2$\sqrt{2}$，点D在⊙O上．
（1）如图1，若点D在AO的延长线上，连结CD交半径OB于点E，连结BD，求BD，ED的长；
（2）若射线OD与AB的延长线相交于点F，且△OCD是等腰三角形，请在图2画示意图并求出AF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，由垂径定理得到AC=BC=$\sqrt{2}$，再根据勾股定理计算出OC=2，接着证明OC为△ABD的中位线，则BD=2OC=4，则可利用勾股定理计算出CD，然后证明△OCE∽△BDE，利用相似比可计算出DE；
（2）讨论：当DC=DO，作DG⊥OC于G，则CG=OG，如图2，则CF=2DG，再利用勾股定理计算出DG，从而得到CF，然后可计算出AF；当CD=CO时，作CG⊥OD于G，如图3，则DG=OG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，利用勾股定理计算出CG，再证明△OGC∽△COF，利用相似比可计算出CF，从而可得AF的长．

解答 解：（1）如图1，∵OC⊥AB，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$，
在Rt△AOC中，OC=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
∵OC∥BD，
∴OC为△ABD的中位线，
∴BD=2OC=4，
在Rt△BCD中，CD=$\sqrt{{4}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵OC∥BD，
∴△OCE∽△BDE，
∴$\frac{CE}{DE}$=$\frac{OC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{2}{3}$CD=2$\sqrt{2}$；
（2）当DC=DO，作DG⊥OC于G，则CG=OG，如图2，
∴DG为△OCF的中位线，
∴CF=2DG，
在Rt△ODG中，DG=$\sqrt{（\sqrt{6}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴CF=2$\sqrt{5}$，
∴AF=CF+AC=2$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$；
当CD=CO时，作CG⊥OD于G，如图3，则DG=OG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
在Rt△OCG中，CG=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵∠GOC=∠COF，
∴△OGC∽△COF，
∴$\frac{CG}{CF}$=$\frac{OG}{OC}$，即$\frac{\frac{\sqrt{10}}{2}}{CF}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2}$，解得CF=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$，
∴AF=CF+AC=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$+$\sqrt{2}$，
综上所述，AF的长为2$\sqrt{5}$+$\sqrt{2}$或$\frac{2\sqrt{15}}{3}$+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理．