Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为_____．

Answer 1

【答案】9

【解析】

过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，根据正方形的性质得出∠AOB=90°，OA=OB，求出∠BOF=∠OAM，根据AAS证△AOM≌△BOF，推出AM=OF，OM=FB，求出四边形ACFM为矩形，推出AM=CF，AC=MF=3，得出等腰三角形三角形OCF，根据勾股定理求出CF=OF=6，求出BF，即可求出答案．

解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，

∵∠ACB＝90°，

∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，

∴四边形ACFM是矩形，

∴AM＝CF，AC＝MF＝3，

∵四边形ABDE为正方形，

∴∠AOB＝90°，OA＝OB，

∴∠AOM+∠BOF＝90°，

又∵∠AMO＝90°，

∴∠AOM+∠OAM＝90°，

∴∠BOF＝∠OAM，

在△AOM和△OBF中，

∴△AOM≌△OBF（AAS），

∴AM＝OF，OM＝FB，

∴OF＝CF，

∵∠CFO＝90°，

∴△CFO是等腰直角三角形，

∵OC＝6，由勾股定理得：CF＝OF＝6，

∴BF＝OM＝OF﹣FM＝6﹣3＝3，

∴BC＝6+3＝9．

故答案为：9．