Question

【题目】如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线y＝x交于点M，∠AMB＝90°，其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A、B，四边形OAMB的面积为6．

（1）求k的值；

（2）点P在（1）的反比例函数y＝（x＞0）的图象上，若点P的横坐标为3，在x轴上有一点D（4，0），若在直线y＝x上有动点C，构成△PDC，其面积为3，请写出C点的坐标；

（3）若∠EPF＝90°，其两边分别为与x轴正半轴，直线y＝x交于点E、F，问是否存在点E，使PE＝PF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）k＝6；（2）满足条件的点C坐标为或；（3）存在，（4，0）和（6，0）

【解析】

（1）过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，根据AAS证明△AMC≌△BMD，那么S四边形OCMD=S四边形OAMB=6，根据反比例函数比例系数k的几何意义得出k=6；
（2）如图1-1中，延长DP交OC于点E，作DH⊥OC于H．利用三角形的面积公式求出EC的长即可解决问题；
（3）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P的坐标为（3，2）．再分两种情况进行讨论：①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．根据AAS证明△PGE≌△FHP，进而求出E点坐标；②如图3，同理求出E点坐标．

解：（1）如图1，过点M作MC⊥x轴于点C，MD⊥y轴于点D，

则∠MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD，

∴△AMC≌△BMD，

∴S四边形OCMD＝S四边形OAMB＝6，

∴k＝6；

（2）如图1﹣1中，延长DP交OC于点E，作DH⊥OC于H，作PJ⊥OC于J，

∵D（4，0），P（3，2），

∴直线PD的解析式为y＝﹣2x+8，

由，解得．

∴E（，），

在Rt△ODH中，∵∠DOH＝45°，OD＝4，

∴DH＝2，同法可得PJ＝

∵ECDH﹣ECPJ＝3，

∴EC＝2，

∴满足条件的点C坐标为（，）或（，）．

（3）存在点E，使得PE＝PF．

由题意，得点P的坐标为（3，2）．

①如图2，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．

∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，

∴△PGE≌△FHP，

∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3﹣2＝1，GE＝HP＝2﹣1＝1，

∴OE＝OG+GE＝3+1＝4，

∴E（4，0）；

②如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥PG于点H，交y轴于点K．

∵∠PGE＝∠FHP＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，

∴△PGE≌△FHP，

∴PG＝FH＝2，FK＝OK＝3+2＝5，GE＝HP＝5﹣2＝3，

∴OE＝OG+GE＝3+3＝6，

∴E（6，0），

故答案为（4，0）和（6，0）．