Question

10．在平面直角坐标系中有两点A（-2，2），B（1，4），根据要求求出P点坐标：
（1）在x轴上找一点P，使得PA+PB最小；
（2）在y轴上找一点P，使得PA+PB最小；
（3）在x轴上找一点P，使得|PA-PB|最大；
（4）在y轴上找一点P，使得|PA-PB|最大；
（5）在x轴上找一点P，使得|PA-PB|最小；
（6）在y轴上找一点P，使得|PA-PB|最小．

Answer 1

分析 （1）作A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于一点P，求出直线A′B的解析式，即可得到点P的坐标；
（2）连接AB交y轴于P，则点P即为使PA+PB最短的点，求出直线AB的解析式，即可得到点P的坐标；
（3）如图2，连接BA并延长交x轴于P，则点P即为使|PA-PB|最大的点，由（2）得直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{10}{3}$，当y=0时，x=-$\frac{5}{2}$，即可得到点P的坐标；
（4）点A关于y轴的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA-PB|=|PA′-PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA-PB|的值最大，连接A′B交y轴于P，则点P即为使|PA-PB|最大的点，直线A′B的解析式，即可得到点P的坐标；
（5）因为|AP-BP|≥0，所以当AP=BP时|AP-BP|最小，即点P在线段A′B的垂直平分线上，设出P点坐标，利用两点间的距离公式即可求解；
（6）因为|AP-BP|≥0，所以当AP=BP时|AP-BP|最小，即点P在线段A′B的垂直平分线上，设出P点坐标，利用两点间的距离公式即可求解；

解答 解：（1）如图1，作A关于x轴的对称点A′，连接A′B与x轴相交于点P，
则点P即为使PA+PB最短的点，
∵A（-2，2），
∴A′（-2，-2），
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-2k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为：y=2x+2，
当y=0时，x=-1，
∴P（-1，0）；

（2）如图2，连接AB交y轴于P，
则点P即为使PA+PB最短的点，
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-2k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{10}{3}$，
∴P（0，$\frac{10}{3}$）；

（3）如图2，连接BA并延长交x轴于P，
则点P即为使|PA-PB|最大的点，
由（2）得直线AB的解析式为：y=$\frac{4}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
当y=0时，x=-$\frac{5}{2}$，
∴P（-$\frac{5}{2}$，0）；

（4）如图3点A关于y轴的对称点A′，则PA=PA′，
∴|PA-PB|=|PA′-PB|，
当A′，B、P在一条直线上时，|PA-PB|的值最大，
则点P即为使|PA-PB|最大的点，
∵A（-2，2），
∴A′（2，2），
设直线A′B的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2=-2k+b}\\{4=k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线A′B的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x+$\frac{10}{3}$，
当x=0时，y=$\frac{10}{3}$，
∴P（0，$\frac{10}{3}$）；

（5）如图4，∵|AP-BP|≥0，∴当AP=BP时，|AP-BP|最小，
故点P在线段AB的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则点P即为所求，
设P（x，0），则PA′=PB，
即$\sqrt{（-2-x）^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{（1-x）^{2}+{4}^{2}}$，
解得x=$\frac{3}{2}$，
故点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，0）；

（6）如图4∵|AP-BP|≥0，∴当AP=BP时，|AP-BP|最小，
故点P在线段AB的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线交y轴于点P，则点P即为所求，
设P（0，y），则PA′=PB，
即$\sqrt{（-2）^{2}+（2-y）^{2}}$=$\sqrt{1+（4-y）^{2}}$，
解得y=$\frac{9}{4}$，
故点P的坐标为（0，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查的是最短线路问题，用待定系数法求一次函数的解析式，对称图形的性质，根据轴对称的性质作出A′点并求出其坐标是解答此题的关键．