Question

【题目】如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2+mx+2的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交交于点B，且OA：OB=1：2．设此二次函数图象的顶点为D．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1 ， 顶点为D1 ． 点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函数y=x2+mx+2的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交交于点B，且OA：OB=1：2，

∴B（0，2），A（1，0），

把A（1，0）代入y=x2+mx+2得m=﹣3，

∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2

（2）

解：如图1中，

由题意可知，C（3，1），作CG∥OB交抛物线于G．

x=3时，y=2，

∴点G坐标（3，2），

∴把抛物线向下平移1个单位即可经过点C，

∴平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣3x+1

（3）

解：如图2中，设P（m，m2﹣3m+1），

∵BB1=DD1，△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，

∴m=2| ﹣m|，

∴m=1或3，

∴点P坐标为（1，﹣1）或（3，1）

【解析】（1）先求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，由题意可知，C（3，1），作CG∥OB交抛物线于G．x=3时，y=2，推出点G坐标（3，2），所以把抛物线向下平移1个单位即可经过点C，由此即可解决问题．（3）如图2中，设P（m，m2﹣3m+1），由题意BB1=DD1 ， △PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，可得m=2| ﹣m|，解方程即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．