Question

2．如图，小华剪了两条宽均为$\sqrt{3}$的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 1
• C． $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，则AE=AF=$\sqrt{3}$，∠AEB=∠AFD=90°，求出四边形ABCD是平行四边形，证出△AEB≌△AFD，推出AB=AD，求出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得出AB=BC，解直角三角形求出AB，根据菱形的面积公式求出即可．

解答 解：
过A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
则AE=AF=$\sqrt{3}$，∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE=∠ADF=60°，
在△AEB和△AFD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠ADF}\\{∠AEB=∠AFD}\\{AE=AF}\end{array}\right.$
∴△AEB≌△AFD，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=$\sqrt{3}$，∠ABE=60°，
∴BE=$\frac{AE}{tan60°}$=1，AB=$\frac{AE}{sin60°}$=2，
∴BC=AB=2，
∴重叠部分的面积是BC×AE=2$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质和判定，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是菱形是解此题的关键，难度适中．