Question

（1）已知△ABC中，AE为角平分线，D为AE上一点，且∠BDE=∠CDE，求证：AB=AC；
（2）若把（1）中“AE角平分线”换为“AE为高线”，其它条件不变，结论还会成立吗？如果成立，请说明；若不成立，也请说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵∠BDE=∠CDE，
∴180°-∠BDE=180°-∠CDE，
即：∠ADB=∠ADC．
∵AE为角平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（ASA）
∴AB=AC．

（2）仍然成立．理由如下：
∵AE为高线，
∴∠DEB=∠DEC．
又∵DE=DE，∠BDE=∠CDE，
∴△DEB≌△DEC，
∴DB=DC，
又∵∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB=AC．
分析：（1）先说明∠ADB=∠ADC，利用△ADB≌△ADC（ASA）可得．
（2）先利用△DBE≌△DCE（ASA）得出BD=CD，再说明△ADB≌△ADC（SAS）可得．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理及性质定理．注意等角的补角相等这个知识点的应用．