Question

9．已知点A、B分别在反比例函数y=$\frac{2}{x}$（x＞0），y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，tanB=$\frac{1}{2}$，则k=-8．

Answer 1

分析 过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，根据角与角之间的关系即可得出△AOC∽△OBD，由此即可得出$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=$（\frac{AO}{OB}）^{2}$，再根据反比例函数系数k的几何意义以及tanB=$\frac{1}{2}$即可得出关于k的分式方程，解之即可得出结论．

解答 解：过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，如图所示．
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，OA⊥OB，
∴∠ACD=∠ODB=90°，∠AOB=90°．
∵∠OAC+∠AOC=90°，∠BOD+∠OBD=90°，∠AOC+∠BOD=180°-90°=90°，
∴∠AOC=∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△OBD}}$=$（\frac{AO}{OB}）^{2}$．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第二象限有图象，
∴k＜0．
∵tanB=$\frac{1}{2}$，S_△AOC=$\frac{1}{2}$×2=1，S_△OBD=$\frac{1}{2}$|k|=-$\frac{1}{2}$k，
∴$\frac{1}{-\frac{1}{2}k}$=$\frac{1}{4}$，解得：k=-8，
经检验：k=-8是方程$\frac{1}{-\frac{1}{2}k}$=$\frac{1}{4}$的解．
故答案为：-8．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据反比例函数系数k的几何意义结合相似三角形的性质找出关于k的分式方程是解题的关键．