Question

9．已知关于x的方程x²-（2m+1）x+m²+m=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁²+x₂²=3，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）求根的判别式，当△＞0时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系的关系求出两根和与两根积，再把x₁²+x₂²=3变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于m的一元二次方程，解方程．

解答 （1）证明：∵a=1，b=-（2m+1），c=m²+m，
∴△=[-（2m+1）]²-4×1×（m²+m）=1，
∴△＞0，
∴关于x的方程x²-（2m+1）x+m²+m=0恒有两个不相等的实数根；

（2）解：∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2 x₁x₂=（2m+1）²-2（m²+m）=2m²+2m+1
∴2m²+2m+1=13
解得：m₁=2，m₂=-3．

点评 本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意熟记以下知识点：（1）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．（2）一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两实数根分别为x₁，x₂，则有x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$