Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线l所在的直线的解析式为y=x，点B坐标为（10，0）过B做BC⊥直线l，垂足为C，点P从原点出发沿x轴方向向点B运动，速度为1单位/s，同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动，速度为2个单位/s，当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．

（1）OC= ，BC= ；

（2）当t=5（s）时，试在直线PQ上确定一点M，使△BCM的周长最小，并求出该最小值；

（3）设点P的运动时间为t（s），△PBQ的面积为y，当△PBQ存在时，求y与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）8，6；（2）16；（3）y=．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理，可得答案；

（2）根据线段垂直平分线的性质，可得直线PQ上的点到O、C的距离相等，根据两点之间线段最短，可得M点与P点重合，根据三角形的周长，可得答案；

（3）根据速度与时间的关系，可得OP，BQ，根据正切函数，可得QH，根据三角形的面积公式，可得答案．

解：（1）∵直线l所在的直线的解析式为y=x，BC⊥直线l，

∴=．

又∵OB=10，BC=3x，OC=4x，

∴（3x）2+（4x）2=102，

解得x=2，x=﹣2（舍），

OC=4x=8，BC=3x=6，

故答案为：8，6；

（2）如图1：

，

PQ是OC的垂直平分线，OB交PQ于P即M点与P点重合，

M与P点重合时△BCM的周长最小，

周长最小为=BM+PM+BC=OB+BC=10+6=16；

（3）①当0＜t≤3时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图2：

，

PB=10﹣t，BQ=2t，HQ=2tsinB=2tcos∠COB=2t×=t，

y=PBQH=（10﹣t）t=﹣t2+8t；

②当3＜t＜5时，过Q作QH⊥OB垂足为H，如图3：

，

PB=10﹣t，OQ=OC+BC﹣2t=14﹣2t，

QH=OQsin∠QOH=（14﹣2t）=（14﹣2t）=﹣t，

y=PBQH=（10﹣t）（﹣t）=t2﹣t+42，

综上所述y=．