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【题目】把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中ABC=DEF=90°C=F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.

(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证APD∽△CDQ.此时,APCQ=

(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问APCQ的值是否改变?说明你的理由;

(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图2,图3供解题用)

【答案】(1)8.(2)APCQ的值不会改变.(3)当2<x<4时,y=8﹣x﹣.当0<x≤2时,y=4﹣x﹣(或y=).

【解析】

试题分析:(1)可通过证APD∽△CDQ来求解.

(2)不会改变,关键是还是证APD∽△CDQ,已知了一组45°角,关键是证(1)中的APD=QDC,由于图2由图1旋转而得,根据旋转的性质可设旋转角为α,那么APD=90°﹣α,CDQ=90°﹣α,因此两角相等.由此可证得两三角形相似.因此结论不变.

(3)本题分类两种情况进行讨论:①当0°<α<45°时②当45°≤α<90°时.

解:(1)∵∠A=C=45°,APD=QDC=90°

∴△APD∽△CDQ

AP:CD=AD:CQ.

即AP×CQ=AD×CD,

AB=BC=4

斜边中点为O,

AP=PD=2

AP×CQ=2×4=8

故答案为:8.

(2)APCQ的值不会改变.

理由如下:

APDCDQ中,A=C=45°

APD=180°﹣45°﹣(45°+α)=90°﹣α,

CDQ=90°﹣α,

∴∠APD=CDQ

∴△APD∽△CDQ

APCQ=ADCD=AD2=(AC)2=8.

(3)情形1:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4,

此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DGAP于G,DNBC于N,

DG=DN=2

由(2)知:APCQ=8得AP=

于是y=ABBC﹣CQDN﹣APDG

=8﹣x﹣(2<x<4)

情形2:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为DMQ

由于AP=,PB=﹣4,易证:PBM∽△DNM

解得

MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣

于是y=MQDN=4﹣x﹣(0<x≤2).

综上所述,当2<x<4时,y=8﹣x﹣

当0<x≤2时,y=4﹣x﹣(或y=).

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