【题目】把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起,使三角板DEF的锐角顶点D与三角板ABC的斜边中点O重合,其中∠ABC=∠DEF=90°,∠C=∠F=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动,让三角板DEF绕点O旋转,设射线DE与射线AB相交于点P,射线DF与线段BC相交于点Q.
(1)如图1,当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时,易证△APD∽△CDQ.此时,APCQ= ;
(2)将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转,设旋转角为α.其中0°<α<90°,问APCQ的值是否改变?说明你的理由;
(3)在(2)的条件下,设CQ=x,两块三角板重叠面积为y,求y与x的函数关系式.(图2,图3供解题用)
【答案】(1)8.(2)APCQ的值不会改变.(3)当2<x<4时,y=8﹣x﹣.当0<x≤2时,y=4﹣x﹣(或y=).
【解析】
试题分析:(1)可通过证△APD∽△CDQ来求解.
(2)不会改变,关键是还是证△APD∽△CDQ,已知了一组45°角,关键是证(1)中的∠APD=∠QDC,由于图2由图1旋转而得,根据旋转的性质可设旋转角为α,那么∠APD=90°﹣α,∠CDQ=90°﹣α,因此两角相等.由此可证得两三角形相似.因此结论不变.
(3)本题分类两种情况进行讨论:①当0°<α<45°时②当45°≤α<90°时.
解:(1)∵∠A=∠C=45°,∠APD=∠QDC=90°,
∴△APD∽△CDQ.
∴AP:CD=AD:CQ.
∴即AP×CQ=AD×CD,
∵AB=BC=4,
∴斜边中点为O,
∴AP=PD=2,
∴AP×CQ=2×4=8;
故答案为:8.
(2)APCQ的值不会改变.
理由如下:
∵在△APD与△CDQ中,∠A=∠C=45°,
∠APD=180°﹣45°﹣(45°+α)=90°﹣α,
∠CDQ=90°﹣α,
∴∠APD=∠CDQ.
∴△APD∽△CDQ.
∴.
∴APCQ=ADCD=AD2=(AC)2=8.
(3)情形1:当0°<α<45°时,2<CQ<4,即2<x<4,
此时两三角板重叠部分为四边形DPBQ,过D作DG⊥AP于G,DN⊥BC于N,
∴DG=DN=2
由(2)知:APCQ=8得AP=
于是y=ABBC﹣CQDN﹣APDG
=8﹣x﹣(2<x<4)
情形2:当45°≤α<90°时,0<CQ≤2时,即0<x≤2,此时两三角板重叠部分为△DMQ,
由于AP=,PB=﹣4,易证:△PBM∽△DNM,
∴即解得.
∴MQ=4﹣BM﹣CQ=4﹣x﹣.
于是y=MQDN=4﹣x﹣(0<x≤2).
综上所述,当2<x<4时,y=8﹣x﹣.
当0<x≤2时,y=4﹣x﹣(或y=).
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【题目】某气象局预报称:“明天本市的降水概率为70%”.这句话指的是( )
A. 明天本市70%的时间下雨,30%的时间不下雨
B. 明天本市70%的地方下雨,30%的地方不下雨
C. 明天本市一定下雨
D. 明天本市下雨的可能性是70%
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l所在的直线的解析式为y=x,点B坐标为(10,0)过B做BC⊥直线l,垂足为C,点P从原点出发沿x轴方向向点B运动,速度为1单位/s,同时点Q从点B出发沿B→C→原点方向运动,速度为2个单位/s,当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)OC= ,BC= ;
(2)当t=5(s)时,试在直线PQ上确定一点M,使△BCM的周长最小,并求出该最小值;
(3)设点P的运动时间为t(s),△PBQ的面积为y,当△PBQ存在时,求y与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
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【题目】油箱中存油20升,油从油箱中均匀流出,流速为0.2升/分钟,则油箱中剩余油量 Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是( )
A.Q=0.2t
B.Q=20﹣0.2t
C.t=0.2Q
D.t=20﹣0.2Q
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【题目】若一个n位数中各数字的n次幂之和等于该数本身,这个数叫做“自恋数”,下面四个数中是自恋数的是 ( )
A. 66 B. 153 C. 225 D. 250
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