Question

9．如图①，正方形ABCD边长为4cm，点A′从点D出发，以每秒1cm的速度沿射线DC向右运动，连结AA′，线段AA′的中垂线分别与直线DC、AA′、AB交于点E、P、F，连结AE、A′F，设点A′的运动时间为t秒．
（1）四边形AEA′F是否为菱形，说明理由；
（2）直接写出四边形AEA′F与正方形ABCD重叠部分形状分别为三角形、四边形、五边形时，所对应的t的取值范围；
（3）如图②，在点A′从点D出发的同时，点M、N从点C出发，点M以每秒2cm的速度在边CD上做往返运动，点N以每秒0.5cm的速度沿CB方向运动，到达点B后停止．
①求出运动过程中点A′、M相遇时的t的值；
②若点E到达点C时，三个动点均停止运动，直接写出运动过程中线段MN所在直线垂直于线段AA′所在直线时t的值．

Answer 1

分析 （1）结论：四边形AEA′F是菱形，只要证明AE=AF=FA′=A′E即可．
（2）分三种情形画出图形（见图2、图3、图4），分别求解即可．
（3）①设点A′与点Mts时相遇．则有t+2t=4或2t-t=4，解方程即可．②如图5中，当MN⊥AA′时，延长AA′、NM交于点K．首先证明△CMN∽△DAA′，得$\frac{CM}{AD}$=$\frac{CN}{A′D}$，分五种情形列出方程解方程即可：当CM=2t时，当CM=4-（2t-4）时，当CM=2t-8时，当CM=4-（2t-12）时，当CM=2t-16时．

解答 解：（1）如图1中，四边形AEA′F是菱形．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠EA′A=∠FAA′，
∵EF垂直平分AA′，
∴EA=EA′，FA=FA′，
∴∠EAA′=∠EA′A，
∴∠EAP=∠FAP，
在△APE和△APF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAP=∠FAP}\\{AP=AP}\\{∠APE=∠APF=90°}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△APF，
∴AE=AF=FA′=A′E，
∴四边形AEA′F是菱形．

（2）如图2中，当重合部分是五边形ABMA′D时，1＜t＜4；如图3中，当重叠部分是四边形ABCE时，4≤t＜4+4$\sqrt{2}$；如图4中，当重叠部分是三角形ABM时，t$≥4+4\sqrt{2}$；

综上所述，t$≥4+4\sqrt{2}$时，重叠部分是三角形，4≤t＜4+4$\sqrt{2}$时重叠部分是四边形，1＜t＜4时重叠部分是五边形．

（3）①设点A′与点Mts时相遇．
则有t+2t=4或2t-t=4，
解得t=$\frac{4}{3}$或4，
∴t=$\frac{4}{3}$或4s时，点A′、M相遇．
②如图5中，当MN⊥AA′时，延长AA′、NM交于点K．

∵∠ADA′=∠K=∠C=90°，∠AA′D=∠MA′K，
∴∠DAA′=∠KMA′=∠NMC，
∴△CMN∽△DAA′，
∴$\frac{CM}{AD}$=$\frac{CN}{A′D}$，
∵AD=4，A′D=2t，CN=0.5t，
当CM=2t时，$\frac{2t}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=1；
当CM=4-（2t-4）时，$\frac{4-（2t-4）}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=3；
当CM=2t-8时，$\frac{2t-8}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=5；
当CM=4-（2t-12）时，$\frac{4-（2t-12）}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=7；
当CM=2t-16时，$\frac{2t-16}{4}$=$\frac{0.5t}{t}$，解得t=9；
∴0＜t＜4+4$\sqrt{2}$，
∴运动过程中线段MN所在直线垂直于线段AA′所在直线时t的值为1s或3s或5s或7s或9s．

点评 本题考查四边形综合题、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，综合性比较强，学会分类讨论，利用构建方程的思想解决问题，注意一题多解，属于中考压轴题．