Question

4．如图，抛物线y=ax²-4ax+b交x轴正半轴于A、B两点，交y轴正半轴于C，且OB=OC=3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，D为抛物线的顶点，P为对称轴左侧抛物线上一点，连OP交直线BC于G，连GD，是否存在点P，使$\frac{GD}{GO}$=$\sqrt{2}$？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由
（3）如图2，将抛物线向上平移m个单位，交BC于点M、N，若∠MON=45°，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把B（3，0），C（0，3），代入y=ax²-4ax+b，解方程组即可．
（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K，将△OBD绕点O逆时针旋转90°得到△OCG，则点G在线段BC上，只要证明△GOD是等腰直角三角形，即可得到直线GO与抛物线的交点即为所求的点P．利用方程组即可解决问题．
（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG，首先证明MN²=CM²+BN²，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则MN²=[$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
设平移后的抛物线的解析式为y=x²-4x+3+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-3x+m=0，由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=3}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m}\\{{x}_{1}+{y}_{1}=3}\\{{x}_{2}+{y}_{2}=3}\end{array}\right.$，推出y₁=x₂，y₂=x₁，M、N关于直线y=x对称，所以CM=BN，设CM=BN=a，则MN=3$\sqrt{2}$-2a，利用勾股定理求出a以及MN的长，再根据根与系数关系，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）∵OB=OC=3，
∴B（3，0），C（0，3），代入y=ax²-4ax+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{9a-12a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=x²-4x+3．

（2）如图1中，连接OD、BD，对称轴交x轴于K．

由题意D（2，-1），B（3，0），K（2，0），C（0，3），
∴OB=OC，KB=KD，
∴∠OBD=∠OCB=45°，
将△OBD绕点O逆时针旋转90°得到△OCG，则点G在线段BC上，
∵∠BOD=∠GOC，
∴∠GOD=∠COB=90°，
∵OG=OD，
∴△GOD是等腰直角三角形，
∴GD=$\sqrt{2}$GO，
∴直线GO与抛物线的交点即为所求的点P．
设直线OD的解析式为y=kx，把D点坐标代入得到，2k=-1，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线OD的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x，
∵OG⊥OD，
∴直线OG的解析式为y=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y={x}^{2}-4x+3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{6}}\\{y=6-2\sqrt{6}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{6}}\\{y=6+2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，
∵点P在对称轴左侧，
∴点P坐标为（3-$\sqrt{6}$，6-2$\sqrt{6}$）．

（3）如图2中，将△OCM绕点O顺时针旋转90°得到△OBG．

∵∠MON=45°，
∴∠MOC+∠NOB=∠NOB+∠BOG=45°，
∴∠MON=∠GON=45°，∵ON=ON，OM=OG，
∴△ONM≌△ONG，
∴MN=NG，
∵∠NBG=∠NBO+∠OBG=45°+45°=90°，
∴NG²=BN²+BG²，
∴MN²=CM²+BN²，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则MN²=[$\sqrt{2}$（x₂-x₁）]²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
设平移后的抛物线的解析式为y=x²-4x+3+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+3}\\{y={x}^{2}-4x+3+m}\end{array}\right.$消去y得到x²-3x+m=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=3}\\{{x}_{1}{x}_{2}=m}\\{{x}_{1}+{y}_{1}=3}\\{{x}_{2}+{y}_{2}=3}\end{array}\right.$
∴y₁=x₂，y₂=x₁，
∴M、N关于直线y=x对称，
∴CM=BN，设CM=BN=a，则MN=3$\sqrt{2}$-2a，
∴（3$\sqrt{2}$-2a）²=a²+a²，
∴a=3$\sqrt{2}$-3（负根已经舍弃），
∴MN=6-3$\sqrt{2}$，
∴（6-3$\sqrt{2}$）²=2（3²-4m），
∴m=$\frac{9}{2}$（$\sqrt{2}$-1）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质和判定、根与系数关系、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形，学会利用方程组以及根与系数的关系，构建方程解决问题，题目比较难，属于中考压轴题．