Question

19．抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）在抛物线上求一点P，使△ABC的面积等于△ACP的面积；
（2）在抛物线上是否存在一点M，使△MAO的面积等于△COM的面积，若次拿在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出过点B平行AC的直线与抛物线的交点即为所求．
（2）由题意可知点M在一、三象限的角平分线上，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$即可求出点M坐标．

解答 解：（1）由题意A（-2，0），B（4，0），C（0，2），
∴直线AC的解析式为y=x+2，
过点B平行AC的直线的解析式为y=x+b，把B（4，0）代入得到b=-4，
∴y=x-4，
直线y=x-4与抛物线的交点即为所求．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$交点$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-6}\\{y=-10}\end{array}\right.$，
∴点P（-6，-10）．

（2）由题意可知点M在一、三象限的角平分线上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x}\\{y=-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{17}}\\{y=-3-\sqrt{17}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\sqrt{17}}\\{y=-3+\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴点M的坐标为（3+$\sqrt{17}$，-3-$\sqrt{17}$）或（3-$\sqrt{17}$，-3+$\sqrt{17}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点坐标、平行线的性质、三角形的面积问题等知识，解题的关键是学会利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．