Question

7．求证：$\frac{2}{{x}^{2}-1}$+$\frac{4}{{x}^{2}-4}$+$\frac{6}{{x}^{2}-9}$+…+$\frac{20}{{x}^{2}-100}$=$\frac{11}{（x-1）（x+10）}$+$\frac{11}{（x-2）（x+9）}$+…+$\frac{11}{（x-10）（x+1）}$．

Answer 1

分析 根据$\frac{2}{{x}^{2}-1}$+$\frac{20}{{x}^{2}-100}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-10}$-$\frac{1}{x+10}$、$\frac{11}{（x-1）（x+10）}$+$\frac{11}{（x-10）（x+1）}$=$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+10}$+$\frac{1}{x-10}$-$\frac{1}{x+1}$得$\frac{2}{{x}^{2}-1}$+$\frac{20}{{x}^{2}-100}$=$\frac{11}{（x-1）（x+10）}$+$\frac{11}{（x-10）（x+1）}$，同理知等式左右两边的具有此规律的每两项均相等，即可得证．

解答 证明：∵$\frac{2}{{x}^{2}-1}$+$\frac{20}{{x}^{2}-100}$=$\frac{2}{（x+1）（x-1）}$+$\frac{20}{（x+10）（x-10）}$=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x-10}$-$\frac{1}{x+10}$，
$\frac{11}{（x-1）（x+10）}$+$\frac{11}{（x-10）（x+1）}$=$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+10}$+$\frac{1}{x-10}$-$\frac{1}{x+1}$，
∴$\frac{2}{{x}^{2}-1}$+$\frac{20}{{x}^{2}-100}$=$\frac{11}{（x-1）（x+10）}$+$\frac{11}{（x-10）（x+1）}$，
同理，$\frac{4}{{x}^{2}-4}$+$\frac{18}{{x}^{2}-81}$=$\frac{11}{（x-2）（x+9）}$+$\frac{11}{（x-9）（x+2）}$，
…
∴$\frac{2}{{x}^{2}-1}$+$\frac{4}{{x}^{2}-4}$+$\frac{6}{{x}^{2}-9}$+…+$\frac{20}{{x}^{2}-100}$=$\frac{11}{（x-1）（x+10）}$+$\frac{11}{（x-2）（x+9）}$+…+$\frac{11}{（x-10）（x+1）}$．

点评 本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握异分母分式运算的法则是关键．