Question

13．已知抛物线C₁：y=x²-2（m+2）x+m²-10的顶点A到y轴的距离为3．
（1）求顶点A的坐标及m的值；
（2）若抛物线与x轴交于C、D两点．点B在抛物线C₁上，且S_△BCD=6$\sqrt{2}$，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据顶点A到y轴的距离为3，说明顶点A的横坐标为3或-3，根据公式-$\frac{b}{2a}$代入列式，求出m的值，分别代入解析式中，求出对应的顶点坐标A；也可以直接配方求得；
（2）先计算抛物线与x轴的交点坐标，发现当m=-5时不符合题意，因此根据m=1时，对应的抛物线计算CD的长，求出点B的坐标．

解答 解：（1）由题意得：-$\frac{-2（m+2）}{2}$=3或-3，
∴m+2=3或m+2=-3，
∴m=1或-5，
当m=1时，抛物线C₁：y=x²-6x-9=（x-3）²-18，
∴顶点A的坐标为（3，-18）；
当m=-5时，抛物线C₁：y=x²+6x+15=（x+3）²+6，
∴顶点A的坐标为（-3，6）；
（2）设B（a，b），
当抛物线C₁：y=x²-6x-9=（x-3）²-18时，
当y=0时，（x-3）²-18=0，
x₁=3+3$\sqrt{2}$，x₂=3-3$\sqrt{2}$，
∴CD=3+3$\sqrt{2}$+3$\sqrt{2}$-3=6$\sqrt{2}$，
∵S_△BCD=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$CD•|b|=6$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{2}$×6$\sqrt{2}$•|b|=6$\sqrt{2}$，
∴b=±2，
当b=2时，x²-6x-9=2，
解得：x=3±2$\sqrt{5}$，
当b=-2时，x²-6x-9=-2，
解得：x=7或-1，
∴B（3+2$\sqrt{5}$，2）或（3-2$\sqrt{5}$，2）或（7，-2）或（-1，-2），
当抛物线C₁：y=x²+6x+15=（x+3）²+6时，
当y=0时，（x+3）²+6=0，
此方程无实数解，所以此时抛物线与x轴无交点，不符合题意，
∴B（3+2$\sqrt{5}$，2）或（3-2$\sqrt{5}$，2）或（7，-2）或（-1，-2）．

点评 本题是二次函数性质的应用，考查了抛物线与x轴的交点及顶点坐标，对于利用三角形面积求点的坐标问题，解题思路为：设出该点的坐标，根据面积列方程，求出未知数的值，再代入解析式中求另一坐标即可；同时要注意数形结合的思想的应用．